月を眺める孤島

多分デレステとポケモンの話がメインのブログです

15人ライブでのアイドルの並べ方は何通り?

こんばんは、むぅんです。

突然実装されたGRAND LIVE、譜面やPRPの大幅更新など様々な点で大いに盛り上がったのではないでしょうか?
その中でも今回注目するのはMVになります。

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アイドルが15人並んでいる光景をデレステで見られる日が来ようとは…。
こちらのMVですが、今までのMVとは比にならないほどアイドルの並べ方があることは直感的にわかるかと思います。では、アイドルの並べ方は一体何通りあるのでしょうか?今回はそのパターン数を計算していきたいと思います(普通に計算ミスがありそうなので、間違いに気付かれた方はコメントでお知らせください)。


普通にアイドルを並べるパターン

まず、衣装を考慮しない純粋なアイドルの並べ方を計算していきます。  n 人のうち  r (n \geq r \geq 0) を並べるパターンは左端から順に  n 通り、 n-1 通り、 n-2 通り…、 n-r 通りであるため、全部で  _n \mathrm{P} _r 通りとなります。今回考えるのはMVの配置なので組み合わせ  _n \mathrm{C} _r ではないこと、またデレステの仕様上同一アイドルの重複もないことに注意してください。  n=190 r=15 より  _{190} \mathrm{P} _{15} を計算すると、その結果は86溝894穣3978杼3624垓3042京8493兆8084億8844万8000通りとなります。もう既に桁数がおかしいことになってる気がするんですが大丈夫ですかね???


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nPrの計算例(左に1人配置すると右には残った2人しか置けない)


衣装も考慮したパターン

続いて衣装も考慮して計算を行います。衣装に関しては2019年7月1日時点で実装されているものを対象とします。
現時点で誰でも着ることのできる共通衣装はスターリースカイ・ブライトやアクロス・ザ・スターズなど無料で手に入るものや、パーティータイム・ゴールドのように有料のもの、更に特殊なものとしてシンデレラドリームを合わせると全部で  7 種類存在します。これらは全員着られるため  190 \times 7 = 1330 通りになります。更に特定のアイドルしか着ることのできない専用衣装(いずれも有料)が  12 種類存在しますが、これらはユニット単位で実装されているので基本的に着ることができるのは  5 人です。例外としてマーチング☆メロディーズだけは  18 人が着ることができるので、合計で  11 \times 5+18 = 73 通りです。そこに現時点で  264 種類実装されているSSRの衣装を加えると、衣装の総数は  1330+73+264 = 1667 通りとなります。このまま  _n \mathrm{P} _r を計算したいところですが、実はこれではうまく計算できません。前述した「同一アイドルの重複が許されない」という制約があるためです。


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同一のアイドルは編成できないためnPrでは計算不可


(例) 3人の中から2人を並べる

例としてアイドル  \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} 3 人の中から  2 人を並べる場合を考えてみます。なお、アイドル  \mathrm{A} 3 種類、  \mathrm{B} \mathrm{C} 2 種類の衣装を着ることができるとします。
まず、衣装を考えずにアイドルを並べるパターンは先程同様  _n \mathrm{P} _r で求められるので  _{3} \mathrm{P} _{2} = 6 通りとなります。全て書き並べると  \mathrm{AB}, \mathrm{AC}, \mathrm{BA}, \mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{CB} ですね。
この中で、  \mathrm{AB} という順でアイドルが並んだとき、衣装の組み合わせは何通りになるでしょうか?アイドル  \mathrm{X} k 番目の衣装を着ている状態を  \mathrm{X} _k と表すと、  \mathrm{A} _1 \mathrm{B} _1, \  \mathrm{A} _1 \mathrm{B} _2, \  \mathrm{A} _2 \mathrm{B} _1, \  \mathrm{A} _2 \mathrm{B} _2, \  \mathrm{A} _3 \mathrm{B} _1, \  \mathrm{A} _3 \mathrm{B} _2 6 通りです。同様に他の組み合わせも計算すると、  \mathrm{AC}, \mathrm{BA}, \mathrm{CA} もそれぞれ  6 通り、  \mathrm{BC}, \mathrm{CB} はそれぞれ  4 通りとなります。全てを合計すると  4 \times 6 + 2 \times 4 = 32 通りが求めたい値となります。


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アイドルの各組み合わせごとに衣装の数の積を計算する必要がある



先ほど出てきた  6 通りという数は、アイドル  \mathrm{A} \mathrm{B} の着ることができる衣装の数の積になります。この計算は他の組み合わせでも同様です。すなわち、衣装も考慮したアイドルの並べ方を計算するには、あるアイドル  15 人を並べたときの全員分の衣装の数の積を求めるのを  _{190} \mathrm{P} _{15} 回(約86溝回)行いそれらの和を計算すればよいことになります。



……無理では???



こんな計算を地道に行っていては、デレステの衣装追加のペースに全く追いつけないどころか先に寿命が尽きてしまいそうなので流石に不可能です。しかし、取りうる値がどの程度の大きさかざっくりと見積もることは可能です。
まず、誰でも着ることができる共通衣装は  7 種類あるので、  15 人全員の衣装の数の積は少なくとも  7^{15} 通りとなります。よって、最低でも  7^{15} \times  _{190} \rm{P} _{15} \approx 4.09 \times 10^{46} 通りの組み合わせは存在することになります。
一方、同一アイドルの重複が許されない今回の総数は、重複を許したときの総数  _{1667} \rm{P} _{15} \approx 2.00 \times 10^{48} 通りよりは確実に少ないです。
以上より、求めたい組み合わせの数  x 7^{15} \times  _{190} \mathrm{P} _{15}  < x <  _{1667} \mathrm{P} _{15} を満たすということはわかります。

ちなみに、正確な値を書くと408載7149正1072潤9290溝3772穣5603杼3539垓1864京2857兆3526億3846万4000通りより多く2極26載2325正8958潤2892溝5026穣5810杼6712垓7220京6087兆179億9628万8000通りより少ない、となります。


ドレスコーデも考慮したパターン

皆さん、何かお忘れではありませんか?


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…そう、ドレスコーデです。現在、パーティータイム・ゴールドとアクロス・ザ・スターズは自分で色をカスタマイズすることが可能です。パーティータイム・ゴールドは299520通り、アクロス・ザ・スターズは982600通りもの組み合わせが存在し、まさに自分だけの衣装を作ることができる機能となっています。
しかし、流石に計算が難しく、しばらく頭を捻っても大雑把な値すら計算できそうになかったのでいずれ気が向いたら記事を更新するということにしておきます。

・最大で4枠まで設定可能
・別枠で全く同じ組み合わせの衣装を作ってもよい
・別枠の衣装を同一のアイドルに設定することは可能

以上の条件のもとで計算方法がわかったという方がいましたら是非コメントをお願いします。





今回はこちらのサイトで計算を行いました。

keisan.casio.jp